关于一类函数的一些思考

定义

我不知道有没有这个函数,但是我突然发现这个函数有一些奇妙的性质。
姑且叫它傻逼函数吧。
定义$Sb(k,m)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \frac{i^{\underline{k}}}{m^i}$

一些性质

[性质1] $Sb(k,m)=\frac{1^{\underline{k}}+kSb(k-1,m)}{m-1}$
使用错位相减法易得。
[性质2] $Sb(-1,m)=\frac{1}{m-1}+\frac{m}{m-1}Sb(-1,1-m)$
暴力拆开性质1的式子可得
[性质3] $Sb(-1,m)=Sb(-1,-m)+\frac{1}{m}+\frac{1}{m}Sb(-1,m^2)$
暴力可得
[性质4] $Sb(-1,m)=m\ln(\frac{m}{m-1})-1(m\ge 2)$
由性质2化开之后,发现$Sb(-1,1-m)$可以用$ln(1+\frac{1}{m-1})$的泰勒展开表示出。所以就证完了。
这意味着$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{im^i}=\ln(m)-\ln(m-1)$
$\ln n=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \displaystyle\sum_{m=2}^{n} \frac{1}{im^i}$

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